vavilon писал(а):1. Что дает нам уверенность считать плоскость двойной переменной - двухмерным пространсвом-временем? То есть рассматривать одно из направлений как время? Я понимаю , что у нас есть положительный исторический опыт и это хорошо, мы вправе так поступить. Рассмотрим, например, случай когда в истории науки не было бы теории относительности и псевдоевклид остался не физичен. Смогли бы мы как то подступиться к осознаванию времени , имея, например, только теорию поля на базе эм поля, поля жидкости, гравитационного поля притяжения, ну и алгебру двойных чисел? Или это глупый вопрос, теория эм поля неизбежно приводит к СТО, и исторически не могло быть иначе?
Плоскость двойной переменной может интерпретироваться не только как двумерное пространство-время (что все знающие люди и делают), но и как двумерное время. То есть, оба измерения временнЫе и ни одного пространственного. Это связано с тем, что совершенно любое не изотропное направление на этой плоскости можно интерпретировать как собственное одномерное время наблюдателя. Тогда второе ортогональное к этому собственному времени направление наш наблюдатель будет автоматически воспринимать как одномерное пространство, а вместе, как двумерное пространство-время.
Факт, что с двойными числами связана именно псевдоевклидова, а никакая то иная плоскость - чисто математический. Точно такой же, как тот, что с комплексной плоскостью связана именно евклидова плоскость. Это связано с особенностями алгебраических операций двойных чисел и комплексных, трактуемых как переносы и повороты. Тут, что называется, не перепутать..
vavilon писал(а):2. Почему "квадрат нормы" равен произведению числа на сопряженное ему. Не смог найти ответ в интернете. Пытался это понять через скалярное произведения, не вышло. Сопряженное число дает нам вектор, зеркальный исходному относительно вещественной оси. Произведение векторов есть произведение длины одного на проекцию другого (на первый). Как дальше получается квадрат длины первого не понимаю пока.
Смотреть лучше не просто интернет, а курсы теории комплексной переменной и (если найдете) алгебру двойных чисел. Показать легко.
Рассмотрим комплексное и двойное числа, соответственно:
z=x+iy
h=t+jx,
где i^2=-1 мнимая единица комплексных чисел, а j^2=+1 мнимая единица двойных чисел.
Сопряженные по определению к этим числам имеют вид:
z*=x-iy для комплексного числа и
h*=t-jx, для двойного.
перемножаем пары сопряженных и получаем:
(x+iy)(x-iy)=x^2-i^2y^2
(t+jx)(t-jx)=t^2-j^2x^2
Учитывая что i^2=-1, и j^2=+1, соответственно, имеем:
x^2+y^2
и
t^2-x^2.
Первый результат есть квадрат длины евклидовой плоскости, второй - квадрат интервала псевдоевклидовой плоскости. Все..
vavilon писал(а):3. Хотел так же разобраться с группами симметрий и отличием в этом плане пространств на поличислах. Если в этом вопросе сможете потратить время и помочь, то хорошо, если это длинная история, то постепенно как то сам разберусь или задам более узкие вопросы. Понятие "группа" я хорошо осознаю. То , что один вид преобразования плоскости образует группу тоже понимаю. На плоскости есть два вида преобразования п. перенос и поворот, как я понимаю. Смутно пока понимаю ( меньше времени уделил) понятию "параметр группы", сколько и почему параметров групп на плоскости и в трехмерии? Ну и что происходит в многообразиях на двойных, тройных, четверных числах пока в очереди для изучения.Спасибо за ответы!
Не совсем правильно понимаете. На плоскости есть не один тип метрически выделенных преобразований и соответствующих им непрерывных симметрий, а два. То что перечислили Вы это изометрические преобразования, сохраняющие на евклидовой плоскости расстояния между всеми парами точек (то есть, величины типа (x^2+y^2)^0,5), а на псевдоевклидовой интервалы между парами точек (то есть, величины типа, (t^2-x^2)^0,5). Такие преобразования линейны. То есть, переводят прямые в прямые. Соответствующие группы на обеих плоскостях трехпараметрические. Два параметра отвечают за переносы (соответствует операция сложения чисел) и один параметр отвечает за поворот (соответствует операция умножения на число с модулем равным единице).
Но есть еще и второй тип метрически выделенных преобразований. Они называются конформными и при них сохраняются не расстояния (или интервалы) между парами точек, а углы в точках пересечения между парами кривых. Эти преобразования уже как правило нелинейные, так как при них прямые обычно переходят в кривые. На обоих плоскостях соответствующие множества преобразований - бесконечно параметрические и в математическом плане им соответствуют уже не просто операции сложения и умножения чисел, а специального вида функции от чисел, называемые аналитическими для комплексных и h-аналитическими для двойных чисел. Множество таких функций в обоих случаях бесконечнопараметрические, соответственно и связанные с ними непрерывные симметрии так же образуют бесконечнопараметрические множества. В отличие от первого типа симметрий и преобразований последние уже не совсем корректно называть группами. Тут есть тонкости..
Надеюсь, понятно объяснил..
Вам бы надо найти в интернете книгу Лаврентьева и Шабата "Проблемы гидродинамики и их математические модели". Там есть глава, в которой все достаточно хорошо расписано. На счет двойных чисел там есть не все, а на счет комплексных - очень многое.