Вопросы по теме "поличисла, геометрия и физика"

Правила форума
Участники форума могут задать вопросы исследователю, открыв тему в этом разделе.

Модератор: Time

Вопросы по теме "поличисла, геометрия и физика"

Сообщение #1  vavilon » 21 май 2014, 22:33

Добрый день, Дмитрий, участники форума!
У меня несколько вопросов появилось на пути знакомства с данной темой. Они базового уровня, хочется не упускать детали при движении дальше. Большое спасибо за помощь.

1. Что дает нам уверенность считать плоскость двойной переменной - двухмерным пространсвом-временем? То есть рассматривать одно из направлений как время? Я понимаю , что у нас есть положительный исторический опыт и это хорошо, мы вправе так поступить. Рассмотрим, например, случай когда в истории науки не было бы теории относительности и псевдоевклид остался не физичен. Смогли бы мы как то подступиться к осознаванию времени , имея, например, только теорию поля на базе эм поля, поля жидкости, гравитационного поля притяжения, ну и алгебру двойных чисел? Или это глупый вопрос, теория эм поля неизбежно приводит к СТО, и исторически не могло быть иначе?
2. Почему "квадрат нормы" равен произведению числа на сопряженное ему. Не смог найти ответ в интернете. Пытался это понять через скалярное произведения, не вышло. Сопряженное число дает нам вектор, зеркальный исходному относительно вещественной оси. Произведение векторов есть произведение длины одного на проекцию другого (на первый). Как дальше получается квадрат длины первого не понимаю пока.
3. Хотел так же разобраться с группами симметрий и отличием в этом плане пространств на поличислах. Если в этом вопросе сможете потратить время и помочь, то хорошо, если это длинная история, то постепенно как то сам разберусь или задам более узкие вопросы. Понятие "группа" я хорошо осознаю. То , что один вид преобразования плоскости образует группу тоже понимаю. На плоскости есть два вида преобразования п. перенос и поворот, как я понимаю. Смутно пока понимаю ( меньше времени уделил) понятию "параметр группы", сколько и почему параметров групп на плоскости и в трехмерии? Ну и что происходит в многообразиях на двойных, тройных, четверных числах пока в очереди для изучения.
Спасибо за ответы!
Аватар пользователя
vavilon
Участник семинара ЛАИ
Цитата
 
Сообщений: 13
Зарегистрирован: 25 янв 2013, 12:13
Откуда: Москва
Благодарил (а): 1 раз.
Поблагодарили: 15 раз.
Предупреждения: 0%
Репутация: 4

Re: Вопросы по теме "поличисла, геометрия и физика"

Сообщение #2  Time » 26 май 2014, 22:54

vavilon писал(а):1. Что дает нам уверенность считать плоскость двойной переменной - двухмерным пространсвом-временем? То есть рассматривать одно из направлений как время? Я понимаю , что у нас есть положительный исторический опыт и это хорошо, мы вправе так поступить. Рассмотрим, например, случай когда в истории науки не было бы теории относительности и псевдоевклид остался не физичен. Смогли бы мы как то подступиться к осознаванию времени , имея, например, только теорию поля на базе эм поля, поля жидкости, гравитационного поля притяжения, ну и алгебру двойных чисел? Или это глупый вопрос, теория эм поля неизбежно приводит к СТО, и исторически не могло быть иначе?

Плоскость двойной переменной может интерпретироваться не только как двумерное пространство-время (что все знающие люди и делают), но и как двумерное время. То есть, оба измерения временнЫе и ни одного пространственного. Это связано с тем, что совершенно любое не изотропное направление на этой плоскости можно интерпретировать как собственное одномерное время наблюдателя. Тогда второе ортогональное к этому собственному времени направление наш наблюдатель будет автоматически воспринимать как одномерное пространство, а вместе, как двумерное пространство-время.

Факт, что с двойными числами связана именно псевдоевклидова, а никакая то иная плоскость - чисто математический. Точно такой же, как тот, что с комплексной плоскостью связана именно евклидова плоскость. Это связано с особенностями алгебраических операций двойных чисел и комплексных, трактуемых как переносы и повороты. Тут, что называется, не перепутать..
vavilon писал(а):2. Почему "квадрат нормы" равен произведению числа на сопряженное ему. Не смог найти ответ в интернете. Пытался это понять через скалярное произведения, не вышло. Сопряженное число дает нам вектор, зеркальный исходному относительно вещественной оси. Произведение векторов есть произведение длины одного на проекцию другого (на первый). Как дальше получается квадрат длины первого не понимаю пока.

Смотреть лучше не просто интернет, а курсы теории комплексной переменной и (если найдете) алгебру двойных чисел. Показать легко.
Рассмотрим комплексное и двойное числа, соответственно:
z=x+iy
h=t+jx,
где i^2=-1 мнимая единица комплексных чисел, а j^2=+1 мнимая единица двойных чисел.
Сопряженные по определению к этим числам имеют вид:
z*=x-iy для комплексного числа и
h*=t-jx, для двойного.

перемножаем пары сопряженных и получаем:
(x+iy)(x-iy)=x^2-i^2y^2
(t+jx)(t-jx)=t^2-j^2x^2
Учитывая что i^2=-1, и j^2=+1, соответственно, имеем:
x^2+y^2
и
t^2-x^2.
Первый результат есть квадрат длины евклидовой плоскости, второй - квадрат интервала псевдоевклидовой плоскости. Все..
vavilon писал(а):3. Хотел так же разобраться с группами симметрий и отличием в этом плане пространств на поличислах. Если в этом вопросе сможете потратить время и помочь, то хорошо, если это длинная история, то постепенно как то сам разберусь или задам более узкие вопросы. Понятие "группа" я хорошо осознаю. То , что один вид преобразования плоскости образует группу тоже понимаю. На плоскости есть два вида преобразования п. перенос и поворот, как я понимаю. Смутно пока понимаю ( меньше времени уделил) понятию "параметр группы", сколько и почему параметров групп на плоскости и в трехмерии? Ну и что происходит в многообразиях на двойных, тройных, четверных числах пока в очереди для изучения.Спасибо за ответы!


Не совсем правильно понимаете. На плоскости есть не один тип метрически выделенных преобразований и соответствующих им непрерывных симметрий, а два. То что перечислили Вы это изометрические преобразования, сохраняющие на евклидовой плоскости расстояния между всеми парами точек (то есть, величины типа (x^2+y^2)^0,5), а на псевдоевклидовой интервалы между парами точек (то есть, величины типа, (t^2-x^2)^0,5). Такие преобразования линейны. То есть, переводят прямые в прямые. Соответствующие группы на обеих плоскостях трехпараметрические. Два параметра отвечают за переносы (соответствует операция сложения чисел) и один параметр отвечает за поворот (соответствует операция умножения на число с модулем равным единице).
Но есть еще и второй тип метрически выделенных преобразований. Они называются конформными и при них сохраняются не расстояния (или интервалы) между парами точек, а углы в точках пересечения между парами кривых. Эти преобразования уже как правило нелинейные, так как при них прямые обычно переходят в кривые. На обоих плоскостях соответствующие множества преобразований - бесконечно параметрические и в математическом плане им соответствуют уже не просто операции сложения и умножения чисел, а специального вида функции от чисел, называемые аналитическими для комплексных и h-аналитическими для двойных чисел. Множество таких функций в обоих случаях бесконечнопараметрические, соответственно и связанные с ними непрерывные симметрии так же образуют бесконечнопараметрические множества. В отличие от первого типа симметрий и преобразований последние уже не совсем корректно называть группами. Тут есть тонкости..

Надеюсь, понятно объяснил..

Вам бы надо найти в интернете книгу Лаврентьева и Шабата "Проблемы гидродинамики и их математические модели". Там есть глава, в которой все достаточно хорошо расписано. На счет двойных чисел там есть не все, а на счет комплексных - очень многое.
Аватар пользователя
Time
Директор фонда развития финслеровой геометрии
Цитата
 
Сообщений: 164
Зарегистрирован: 25 янв 2013, 13:49
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 94 раз.
Предупреждения: 0%
Репутация: 21

Re: Вопросы по теме "поличисла, геометрия и физика"

Сообщение #3  Ardan » 30 ноя 2014, 16:19

После одной дискуссии возник вопрос о физическом смысле так сказать "мнимости чисел", которые с точки зрения натурфилософии вообще не имеют места быть. Скажем, корень из -1Изображение нужен для того, чтобы в квадрате дать именно -1, что то вроде отрицательной энергии? Что то вроде аналога кинетической энергии. Для нормальных чисел, "перво-атомов" точек будет нормальная энергия. а для их вакансий ( что то "дырок Дирака"), это будет "ненормальная энергия, то есть отрицательная энергия вакуума. Может, "первоквантом" в этом случае считать кванты скорости, в которых соединено и пространство и время?
Аватар пользователя
Ardan
Участник форума ЛАИ
Цитата
 
Сообщений: 1346
Зарегистрирован: 28 окт 2013, 17:20
Откуда: Москва
Благодарил (а): 174 раз.
Поблагодарили: 111 раз.
Предупреждения: 0%
Репутация: 31

Re: Вопросы по теме "поличисла, геометрия и физика"

Сообщение #4  Time » 04 дек 2014, 23:36

У меня есть другой вариант интерпретации как обычной мнимой единицы, что содержится в комплексных числах, так и гиперболически мнимых единиц, что содержатся в числах типа двойных, тройных, четверных и т.д. Эти единицы связаны с различными типами элементарных зарядов. Если угодно, действительно, связаны с квантами. К сожалению, долго пояснять, что я имею ввиду. Если захотите, думаю, сами разберетесь..
Аватар пользователя
Time
Директор фонда развития финслеровой геометрии
Цитата
 
Сообщений: 164
Зарегистрирован: 25 янв 2013, 13:49
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 94 раз.
Предупреждения: 0%
Репутация: 21

Re: Вопросы по теме "поличисла, геометрия и физика"

Сообщение #5  Ardan » 05 дек 2014, 11:47

Time писал(а):У меня есть другой вариант интерпретации


Спасибо за обнадеживающий ответ, надеюсь, что пойму и смогу сделать из этого "философский экстракт". Пришло в голову, что существование мнимой единицы означает всего лишь, что квадрат отрицательного числа тоже должен давать отрицательное число, если бы была симметрия между положительными и отрицательными числами.
Аватар пользователя
Ardan
Участник форума ЛАИ
Цитата
 
Сообщений: 1346
Зарегистрирован: 28 окт 2013, 17:20
Откуда: Москва
Благодарил (а): 174 раз.
Поблагодарили: 111 раз.
Предупреждения: 0%
Репутация: 31


Быстрый ответ


Введите код в точности так, как вы его видите. Регистр символов не имеет значения.

BBCode ВЫКЛЮЧЕН
   

Вернуться в Вопросы исследователю

Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

cron