Гравитационный центр пирамиды (миниатюра)

[kyp]

Поскольку ранее
viewtopic.php?f=85&t=5744

возникло подозрение, что точка внутри пирамиды, в которой уравновешены силы притяжения всех ее «частей» (гравитационный центр), не обязательно совпадает с ее центром масс, то попробую продвинуться чуть дальше по направлению гравицентра пирамиды.

В доступных навскидку задачках в сети находят гравитационный потенциал и напряженность гравитационного поля в сферах, шарах, цилиндрах, листах, кольцах и около них, т.е. что легко интегрируется. Пирамиду с полпинка не проинтегрируешь, поэтому такой задачки в сети с ходу не видно.

Попробую обойтись без интегралов и компьютера, как решателя численных задач.

В основании египетских пирамид – квадрат или прямоугольник.

Интуитивно ясно, что «гравицентр» квадрата совпадает с его центром («масс»). В самом деле, впишем в квадрат круг. Площадь круга, его «масса», составляет около 78.5% (пи на 4) площади-«массы» квадрата. 4 криволинейных треугольника около вершин квадрата, которые «отрезал» от него круг, равны и симметричны относительно его центра. Если рассмотреть их, как дополнение к кругу, то в силу их равенства и симметрии относительно центра круга их притяжение не сместит гравицентр круга. Поэтому «гравицентру» квадрата просто некуда деваться от своего центра («масс»).

По аналогии с квадратом «гравицентр» прямоугольника тоже находится в его центре «масс», т.е. в точке пересечения диагоналей. В прямоугольник нельзя вписать круг, но можно вписать эллипс. (Как выяснилось ранее, эллипсоид похож на шар в плане своего гравицентра и характера силы притяжения к нему, соответственно, эллипс аналогичен кругу.) Площадь эллипса также составляет около 78.5% (пи на 4) площади прямоугольника и 4 криволинейных треугольника около его вершин равны и симметричны относительно центра эллипса (точка пересечения диагоналей прямоугольника).

Таким образом, симметрия и 78.5% массы позволяют надеяться, что все основное учтено, а скорее всего это точный результат.

Вершины наших пирамид находятся над центрами их оснований (в идеале, конечно). Если гравицентр основания пирамиды находится в его центре масс, то гравицентр (однородной) пирамиды находится где-то над ним, т.е. на высоте пирамиды, как и центр ее масс. С чего бы ему «съезжать» вбок, если «слой» пирамиды, лежащий на основании (как и все остальные), подобен основанию, чуть меньше его, а их центры лежат на вертикали?

Следующий вопрос - примерно где на высоте?

[flight]

Вершины наших пирамид находятся над центрами их оснований (в идеале, конечно). Если гравицентр основания пирамиды находится в его центре масс, то гравицентр (однородной) пирамиды находится где-то над ним, т.е. на высоте пирамиды, как и центр ее масс. С чего бы ему «съезжать» вбок, если «слой» пирамиды, лежащий на основании (как и все остальные), подобен основанию, чуть меньше его, а их центры лежат на вертикали?

Следующий вопрос - примерно где на высоте?

В космосе нет высоты :) ведь Вы рассматриваете пирамиду в отряве от планеты.

[fBrown]

В космосе нет высоты :) ведь Вы рассматриваете пирамиду в отряве от планеты.

Геометрия есть везде
Но есть как минимум один неприятный момент... Как быть со скальными основаниями?

[kyp]

Вершины наших пирамид находятся над центрами их оснований (в идеале, конечно). Если гравицентр основания пирамиды находится в его центре масс, то гравицентр (однородной) пирамиды находится где-то над ним, т.е. на высоте пирамиды, как и центр ее масс. С чего бы ему «съезжать» вбок, если «слой» пирамиды, лежащий на основании (как и все остальные), подобен основанию, чуть меньше его, а их центры лежат на вертикали?

Следующий вопрос - примерно где на высоте?

В космосе нет высоты :) ведь Вы рассматриваете пирамиду в отряве от планеты.

Вы не внимательно прочитали то, что процитировали. Космос тут ни при чем, пирамиду я рассматриваю изолированно (это совершенно нормально, см. ниже).

Если бы египетские пирамиды были однородными (без включений и внутренних помещений), то центр масс любой такой пирамиды (считаем, что их вершины проецируются в точки пересечения диагоналей оснований) находился бы на расстоянии четверти высоты от центра ее основания. Если высота пирамиды 100 м, то центр ее масс находится на высоте 25 м над точкой пересечения диагоналей основания пирамиды.

Точно такой же вопрос я задаю по отношению к гравицентру пирамиды. Где он на высоте пирамиды? Может быть он иногда и с центром масс совпадает.

Если посмотреть задачки по теме гравитационного поля однородных тел, доступные в сети, то видно, что изучение гравитационных полей изолированных тел, как они там себя ведут внутри тела - это совершенно стандартная задача. Гравитационное поле Земли и всей Вселенной при желании можно потом учесть методом сложения.

Я надеюсь, что понятно, что все это - продолжение моих размышлений любопытствующего дилетанта все по тому же вопросу: какое гравитационное воздействие оказывает окружающий массив известняка на экспериментатора с прибором?

[kyp]

Решим более простую задачу с правильной треугольной пирамидой, т.е. тетраэдром. Она хороша тем, что у нее «все равно» и симметрично, ее гравицентр легко оценивается и вроде бы совпадает с центром масс. Симметрия позволяет понять, почему это происходит.

Но сначала по аналогии с кругом и квадратом, рассмотрим круг, вписанный в равносторонний треугольник, который «отрезает» от него 3 одинаковых криволинейных треугольничка. Интуитивно ясно, что они уравновесят друг друга и гравицентр правильного треугольника будет в центре вписанного в него круга. Не хочу рисовать картинки, поэтому все на словах.

Причины того, что они уравновесят друг друга таковы 1) они равны, 2) равноудалены от центра круга, 3) расположены под подходящим углом друг к другу, а именно, 120 градусов. Это позволяет уравновесить в центре 3 силы, действующие на него от криволинейных треугольничков, т.к. 2Cos60 = 1 или Cos60 + Cos60 = 1. Единица справа – это как бы сила от одной вершины, а косинусы слева – это проекции сил от двух других вершин на направление первой силы. Все силы одинаковы по величине, поэтому их можно заменить единичками, а косинусы учитывают направления.

Я привел это рассуждение с косинусами потому, что в тетраэдре нужно, чтобы 4 равных криволинейных пирамидки, «отсеченные» от него вписанным шаром, уравновесили друг друга. Интуитивно это вроде бы очевидно, но за этой очевидностью стоят те же приведенные 3 пункта, но косинусов уже 3, т.е. CosA+CosA+CosA=1.

Несложно посчитать, что радиус шара, вписанного в тетраэдр, равен четверти его высоты. Как мы помним, именно на таком расстоянии от основания наших пирамид расположен их центр масс, если они, конечно, однородны.

Вписанный шар «отсек» от тетраэдра 4 одинаковые криволинейные пирамидки. Интуитивно ясно, что они уравновесят друг друга, но почему 3СоsA=1? В правильном треугольнике косинусы были по ½ потому, что радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной, а здесь радиус описанного вокруг тетраэдра шара втрое больше радиуса вписанного шара. Четверть высоты как раз об этом и говорит: четверть – радиус вписанного шара, а ¾ - описанного, отсюда косинус соответствующего угла = 1/3 и их 3.

Если теперь в пирамиду с квадратным основанием вписать шар, что, по-моему, можно сделать, то «отсеченные» криволинейные пирамидки уже не равны между собой. 4 треугольные пирамидки у основания одинаковые, а пятая у вершины не треугольная, а 4-хугольная. Если рассуждать по той же схеме, то остается надеяться, что эти 5 криволинейных пирамидок исхитрятся уравновесить друг друга…

[kyp]

Геометрия есть везде
Но есть как минимум один неприятный момент... Как быть со скальными основаниями?

Скальные основания, если это именно основания, т.е. горизонтальные плоскости, на которых стоят пирамиды, никому не мешают, по-моему. Это просто кусок Земли, на котором стоит пирамида. Если же скальное основание не горизонтально, то ... это, по-моему, можно учесть как поправку к горизонтальному. Оно же не сильно негоризонтально, правда?

P.Sк предыдущему сообщению о пирамидах и вписанных в них шарах, картинки были бы полезны. В тетраэдре я чуть поспешил, конечно, вписанный шар не "отсекает" 4 равные криволинейные пирамидки по аналогии с тем, как вписанная в равносторонний треугольник окружность, "отсекает" 3 криволинейных треугольника. Получается более сложное, но в то же довольно симметричное тело. Аналогично с 4-хугольной пирамидой, там не 5 криволинейных пирамидок, а нечто более сложное...

[kyp]

В принципе, каким бы ни было сложным скальное основание, которое обложили блоками и сверху возвели пирамиду, если известна его плотность и геометрия (как узнать - отдельный вопрос и непростой), то дальше все пихается в комп и он выдает при должном ПО все, что угодно.

Если рассуждать в терминах центра масс, то не горизонтальное "скальное основание" можно понимать как включение, как неоднородную пирамиду с известной плотностью и геометрией неоднородности/включения, центр масс пирамиды с включением определен в предыдущей теме.

[kyp]

Если теперь посмотреть на красивую картинку тетраэдра с вписанным в него шаром, например, на такую



то видно, что тетраэдр с вырезанным шаром - сложное тело. В отличие от круга, вписанного в квадрат, который занимает около 78.5% его площади, шар вписанный в тетраэдр - это всего лишь 8.5% его объема. Но за то центр шара дает кандидата на гравицентр тетраэдра, а сложное тело обладает симметрией, его можно мысленно "разрезать" на равные части и попробовать рассуждать, как и ранее, т.е. получить уравновешивающие друг друга части... Я это к тому, что гравицентр тетраэдра находится в центре его масс, в центре вписанного (и описанного) шара.

Все эти ухищрения нужны только для того, чтобы не интегрировать по пирамиде.

[fBrown]

Скальные основания, если это именно основания, т.е. горизонтальные плоскости, на которых стоят пирамиды, никому не мешают, по-моему. Это просто кусок Земли, на котором стоит пирамида. Если же скальное основание не горизонтально, то ... это, по-моему, можно учесть как поправку к горизонтальному. Оно же не сильно негоризонтально, правда?

Это точно не геометрические основания.

Поди знай достоверно функционал 4,5 и 12.

[kyp]

Это точно не геометрические основания.

Поди знай достоверно функционал 4,5 и 12.

Большое спасибо за картинку. Я занимаюсь египетскими пирамидами с того момента, как открыл предыдущую тему, центром масс, а теперь гравицентром, интересуюсь с точки зрения оценки возможного влияния пирамиды на результаты Панчелюги. Соответственно, подхожу к пирамидам в основном геометрически.

Скальным основанием, которое чуть-чуть нарушает горизонтальность пирамиды, в первом приближении можно просто пренебречь, т.к. его объем мал по сравнению с объемом пирамиды. 4, 5 и 12 вне пирамиды и их объем не велик не только по сравнению с пирамидой, но и с другими внутренними помещениями, поэтому они не повлияют на координаты центра масс/гравицентра пирамиды.

Сегодня в свободное время собирался посчитать конкретные пирамиды. Вспомогательная задачка с тетраэдром, в котором центр вписанной/описанной сферы = центр масс = гравицентр, напоминает о важности вписанных и описанных сфер. Если пирамида "тупоугольна", то центр описанной сферы лежит вне нее по аналогии с тем, как центр описанной окружности лежит вне тупоугольного треугольника. С точки зрения центра масс и гравицентра - это не физический случай, т.к. они не могут лежать вне (сплошных) тел.

Глядя на 5, хоть 5 и не точно на линии высоты, я вспомнил об этом, но пирамида Хеопса по картинке не тупоугольна. Надо проверить.

[kyp]

fBrown, координаты 5 известны?

Центр сферы, описанной вокруг пирамиды Хеопса, лежит вне нее. Интересно взаимное расположение центра описанной сферы и 5.



Для пирамиды Хеопса AB=ВC=233 м, SO=147 м. Это правильная 4-хуголная пирамида, вокруг которой можно не только описать сферу, но и вписать.

Интересен угол ASC, если он тупой, то центр описанной сферы лежит вне пирамиды. Вспоминаем теорему косинусов: надо сравнить AS**2 + SC**2 = 2*AS**2 и AC**2. Если угол ASC прямой, то они равны, если AC**2 больше, то он тупой. Несложно посчитать, что больше. Радиус описанной сферы посчитаю позже.

[kyp]

Сослепу не заметил масштаб на картинке, помещение 5 находится примерно на глубине 36 м. А центр описанной сферы - около 19. Явно не рядом.

[kyp]

Пол помещения 7 находится примерно на высоте 20 м, а помещения 11 - около 45 м (с учетом скального выступа, т.е. пирамида как бы без него). Центр масс однородной пирамиды Хеопса (без учета внутренних помещений) находится на расстоянии четверти высоты от основания, т.е. на высоте около 37 м, где-то между помещениями 7 и 11. А радиус вписанной сферы равен 56.5 м, т.е. ее центр повыше потолка помещения 11.

[slavik]

Правильно ли я вас понимаю,Вы думаете что смысл строительства пирамиды тесно связан с влиянием на гравитацию, в данном случае с конкретной точкой. А зачем это вообще торда нужно, как вы думаете?